Педагогика

ДАВЫДОВА КОНЦЕПЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Обосновывая основную идею построения начального курса математики, В.В. Давыдов начинает с положения, что числа, операции, к-рые усваивают дети при обучении математике, являются частным видом более общего математического объекта величины и что в основе концепции действительного числа в математике лежит более общее понятие о величине. Так нельзя ли сначала познакомить ребенка с этим общим объектом, а лишь затем выводить частные случаи его проявления? Опыт многолетней экспериментальной работы под руководством В. В. Давыдова показал, что такой путь введения математических знаний вполне реализуем.

Согласно принципам методики В.В. Давыдова, дети сначала должны овладеть нек-рым общим понятием о «величине вообще» и лишь затем перейти к числовому способу выражения величин. Обучение начинается с того, что уч-ся выделяют в вещах разные их свойства и оценивают различия между вещами по выраженности (интенсивности) того или иного свойства. Дети сравнивают тяжесть разных тел, их объемы, длину, громкость звуков и т.д. В результате сравнения получается, что одна вещь тяжелее, легче или равна по тяжести другой, вторая — длиннее, короче или равна по длине третьей; один из прослушанных звуков громче, тише или равен по громкости второму и т.д.

Т.о., на этом этапе впервые происходит когнитивное выделение величины как особой специфической интенсивной характеристики разных свойств объектов и формируется система трех основных фундаментальных отношений между величинами: «больше», «меньше», «равно». Это и есть первое, самое примитивное общее понятие о величине, включающее понимание необходимости сравнения объектов по интенсивности разных их свойств для вынесения суждения о величине. Как видим, для формирования такого понятия числа не нужны, а сравнение величин вполне может осуществляться на перцептивно — действенном уровне.

В заключение описанной работы вводятся знаки .для обозначения всех трех возможных отношений-(«больше», «меньше», «равно») интенсивностных характеристик разных свойств объектов. Все три знака вводятся одновременно, т.е. в единой системе. Последовательность введения этих знаков также подчиняется принципу дифференциации. Вначале знаки относительно глобальны (в том смысле, что в них не расчленены объекты сравнения и связывающие их отношения по величине) и изобразительны (их форма подобна характеру обозначаемого отношения величины). Здесь дети изображают отношения величин (тяжести, громкости, объемов) соотношением длин двух рисуемых на бумаге линий. Так, напр., если из двух сравниваемых по тяжести предметов более тяжелый находится справа, дети рисуют справа более длинную линию, чем слева, и т.п. А после того, как такой способ оз — .начивания усвоен, дети переходят к более дифференцированной и абстрактной записи отношений величин, используя буквенную символику и знаки отношений «>», «<», «=». Так получаются записи типа: a>b; a<b; а=Ь. Здесь знаки отношений величин уже отделены от знаков самих сравниваемых объектов, а знаки отношений имеют меньше подобия с самими этими отношениями.

После формирования у детей ясной трехчленной системы отношений величин начинается работа по ее внутренней дифференциации. Она идет по двум направлениям: 1) дифференциация свойств самих отношений. Дети знакомятся с основными свойствами неравенств и равенств: с обратимостью, транзитивностью. И эта работа опять-таки не требует обращения к числам. На многих наглядных примерах уч-ся убеждаются, что если а>Ь, то значит Ь<а; если а=Ь, то Ь=а; если a=b, а Ь=с, то а=с; если a>b, а Ь>с, то а>с и т.д.; 2) дети знакомятся со знаками прибавления («+») и убавления («-») величин и овладевают способами перехода от неравенств к равенствам, и наоборот. На простых наглядных и конкретных примерах они убеждаются, что если было, напр., а<Ь, то можно сделать так, чтобы а стало равно но для этого нужно либо что-то отнять от большей величины Ъ, либо что-то прибавить к меньшей величине а. Это «что-то» получает знак х, и дети записывают: если а<Ь, то а+х=Ь и Ь-х=а. Аналогичным образом складывается понимание, что от любого равенства можно перейти к неравенству, если что-то прибавить или что-то отнять от любого, но одного из его членов. Если что-то одинаковое отнять или прибавить к каждому члену равенства или неравенства, то отношение не изменится: если а=Ь, то а+х=Ь+х, если а>Ь, то а+х>Ь+х и т.д. Как видно, налицо достаточно проработанный каркас общего понятия о величине, о способах ее изменения и условиях неизменности, о смысле действий сложения и вычитания, но все это еще не на количественном, а на качественном дочисловом уровне понятия величины.

При описании данного этапа методики обучения математике в системе В.В. Давыдова акцент иногда делается на том, что алгебра вводится раньше арифметики. Но это не так или, по крайней мере, не совсем так. Необходимо ясно понимать, что алгебра, к-рой пользуются дети до знакомства с числами, это не совсем то, что «взрослая» послечисловая алгебра. Это лишь ее глобальный примитивный прообраз, зачаток, соответствующий качественному уровню овладения понятием величины. Во «взрослой» алгебре буквенные знаки яД с и т.д. — это форма обобщенной записи величин, конкретные числовые значения к-рых хотя и не даны, но о к-рых подразумевается, что они всегда могут стать известными в определенных условиях. Ахи у — это также знаки величин, имеющих в определенных условиях совершенно определенные количественные значения, но такие, к — рые не известны и должны быть найдены на основе известных значений др. величин. Смысл формальных операций с буквенными знаками во взрослой алгебре состоит именно в том, чтобы найти общий путь к вычислению конкретной числовой величины х при самых разных, но в возможности известных конкретных значениях величин а,Ь,с и т.д.

В «детской» же алгебре, к-рой овладевают дети в системе В.В. Давыдова, знаки а, Ъ, с не предполагают и не подразумевают существования каких-то численно определенных количеств. Они обозначают лишь «величину» вообще, т.е. интенсивную характеристику любого свойства объекта в отличие от его качества — цвета, формы, запаха, звучания и т.д. Аналогичным образом знак х в детской алгебре В.В. Давыдова не подразумевает никакого определенного количества и вводится совсем не для поиска пути нахождения этого количества. Вместе с тем путь движения от «детской» алгебры к введению понятия числа и арифметических действий напрашивается как бы сам собой. Это, во-первых, путь дифференциации действий сравнения величин на два вида: сравнение непосредственное и опосредствовайное третьим объектом — меркой. Во-вторых, это неразрывно связанная с введением меры дифференциация широких совершенно неопределенных в количественном отношении качественных суждений «больше» и «меньше», превращения их в точные количественные суждения: «больше или меньше на такое-то именно конкретное число».

Когда дети уже хорошо овладели пониманием того, что для суждения о величине ч.-л. это «что-либо» обязательно надо сравнить с выраженностью того же свойства у др. объекта, учитель переходит к демонстрации ситуаций, когда трудно или невозможно выполнить непосредственное сравнение объектов и поэтому невозможно обнаружить их равенство или неравенство. Напр., один из объектов может находиться во дворе, в др. городе или в др. стране; один из объектов может быть столь большим и тяжелым, что его трудно или невозможно взвесить на весах, одна линия может быть прямой, а другая — ломаной и т.п. Так дети подводятся к пониманию, что в этих и многих др. аналогичных случаях следует обратиться к какому-то третьему предмету как посреднику для сравнения. Имея такого посредника, можно посмотреть, сколько раз он «умещается» в одной сравниваемой величине, сколько раз — в другой, и сравнить эти полученные «разы». Полученные «разы» выражаются числами, к-рые можно сравнивать, не обращаясь к реальным предметам и к-рые сами получаются как частный случай отношения величин, когда одна из них принимается за меру другой, число получается по общей формуле

Существенно, что детям с самого начала обучения сообщается, что меры могут быть самыми разными. Это может быть один кубик для длины или площади или несколько кубиков, связанных вместе; это может быть гирька массой в 1 г, в 100 г, в 1 кг или несколько гирек и т.д. Т.о. формируется целостная основа общего представления о системе мер, понимание, что между размером меры и числом существует обратная зависимость и что одну и ту же величину можно выразить разными числами, используя разные меры.

На этом пути успешно преодолевается свойственное дошкольникам и младшим школьникам, обучающимся по традиционным программам, синкретичное отождествление единицы измерения с одним отдельным предметом. Преодолеваются также синкретические связи количественных числительных первого десятка с наглядными образами определенного числа к.-л. конкретных объектов, будь то палочки или кружки, столы или собаки и т.д. Вся дальнейшая программа построена как все большая и большая конкретизация исходного общего понятия о числе как отношении

Так, на этой основе выводится принцип построения числового ряда. Ребенок работает с одной и той же величиной, но с изменяющимися мерами. Если мера равна исходной величине, то N=1; если мера два раза умещается в ней, то N=2, если три раза, то N=3 и т.д. На этой же основе позднее вводятся дробные числа для случаев, когда взятая мера не умещается в измеряемом объекте целое число раз. В.В. Давыдов считает, что на той же основе возможно введение способов получения не только положительных, но и отрицательных чисел.

Итак, вся программа начального курса математики выстроена четко и последовательно в согласии с принципом от абстрактного к конкретному, от общего к частному. Программа ведет ребенка от максимальной проработки качественного понятия о величине к его количественной конкретизации через введение понятия числа как особого случая отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой. При этом переход от качественного к количественному определению величин выступает как естественный и необходимый этап развития понятия о величине, когда операции на качественном уровне уже не могут обеспечить возможности более точных и дифференцированных суждений об основных отношениях «больше», «меньше», «равно». Затем идет дифференциация самого понятия числа: выделяются числа целые и дробные, натуральные, положительные и отрицательные. Большое значение имеет способ введения числа как отношения. Дети успешно привыкают при сравнении величин оперировать числами как «чистыми» знаками кол-ва, не обращаясь к их наглядным образам. Т.о. создаются наиболее благоприятные условия для когнитивного отделения чисел как математических знаков от обозначаемого, для перехода к оперированию числительными как исключительно «чистыми» знаками количеств, не обращаясь к их наглядным образам. Поэтому дети, обучающиеся по данной программе, значительно раньше переходят к уровню формальных операций, чем это имеет место у детей при традиционном обучении математике. Ведь формальные операции это и есть операции с «чистыми» знаками и их отношениями в знаковой системе. А это возможно, когда репрезентации знаков в когнитивных структурах уже полностью отделились от образных репрезентаций и стали когнитивно независимыми от них.

Добавить мысль

Нажмите, если хотите добавить

Рубрики

Партнеры: